PBR 微表面 BRDF 与能量守恒推导

符号约定：$\mathbf{n}$ 为宏观表面法线，$\mathbf{v}$ 为视线方向，$\mathbf{l}$ 为入射光方向，$\mathbf{h} = \frac{\mathbf{v} + \mathbf{l}}{\|\mathbf{v} + \mathbf{l}\|}$ 为半程向量（微平面法线），$\alpha = \text{roughness}^2$ 为重映射后的粗糙度参数。该光照模型在延迟管线中的 Pass 组织方式参见 [[FrameGraph 资源生命周期与渲染管线对比]]。

反射方程与 Cook-Torrance BRDF

不发光表面的出射辐射度由半球积分反射方程给出：

$$L_o(\mathbf{p}, \mathbf{v}) = \int_{\Omega} f_r(\mathbf{p}, \mathbf{l}, \mathbf{v}) \, L_i(\mathbf{p}, \mathbf{l}) \, (\mathbf{n} \cdot \mathbf{l}) \, \mathrm{d}\omega_i$$

在金属度-粗糙度（Metallic-Roughness）工作流中，双向反射分布函数 $f_r$ 拆分为漫反射项与镜面反射项：

$$f_r(\mathbf{l}, \mathbf{v}) = k_d \frac{\mathbf{c}_{\text{albedo}}}{\pi} + \frac{D(\mathbf{h}, \alpha) \, G(\mathbf{n}, \mathbf{v}, \mathbf{l}, \alpha) \, F(\mathbf{v}, \mathbf{h}, F_0)}{4 (\mathbf{n} \cdot \mathbf{v}) (\mathbf{n} \cdot \mathbf{l})}$$

微表面三项公式对照

物理项	常用模型	表达式	物理含义
法线分布 $D$	Trowbridge-Reitz GGX	$D_{\text{GGX}}(\mathbf{h}) = \frac{\alpha^2}{\pi \left( (\mathbf{n} \cdot \mathbf{h})^2 (\alpha^2 - 1) + 1 \right)^2}$	朝向半程向量 $\mathbf{h}$ 的微平面面积统计密度
几何遮蔽 $G$	Height-Correlated Smith	$G(\mathbf{v}, \mathbf{l}) = \frac{2 (\mathbf{n} \cdot \mathbf{l}) (\mathbf{n} \cdot \mathbf{v})}{(\mathbf{n} \cdot \mathbf{v})\sqrt{\alpha^2 + (1-\alpha^2)(\mathbf{n}\cdot\mathbf{l})^2} + (\mathbf{n} \cdot \mathbf{l})\sqrt{\alpha^2 + (1-\alpha^2)(\mathbf{n}\cdot\mathbf{v})^2}}$	微平面间自阴影与掩蔽的联合概率
菲涅尔项 $F$	Schlick 近似	$F(\mathbf{v}, \mathbf{h}) = F_0 + (1 - F_0)(1 - (\mathbf{v} \cdot \mathbf{h}))^5$	不同掠射角下的反射能量比例